Scuola di Medicina e Chirurgia

Obiettivi del Corso e Risultati di apprendimento attesi

ATTIVITA	ORE LEZIONE	ORE STUD INDIV.
A1) Acquisizione delle conoscenze dei principali strumenti dell’analisi matematica per funzioni in più variabili.	10	20
A2) Capacità di comprendere problemi e dimostrazioni inerenti i principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabile reali e dei principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni vettoriali di una o più variabile reali	10	20
A3) Acquisizione dei principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabile reali e dei principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni vettoriali di una o più variabile reali	10	20
A4) Acquisizione delle conoscenze su alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non lineari	9	19
A5) Abilità di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non lineari	8	18
B1) Capacità di apprendimento necessarie per intraprendere gli studi successivi con un buon grado di autonomia.	8	18
D1) Capacità di descrivere e commentare le conoscenze acquisite, adeguando le forme comunicative agli interlocutori.	8	18
E1) Capacità di applicazione delle conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi sia tipici dell’Analisi Matematica che derivanti da applicazioni alla fisica	9	20
TOTALE	72	153

Programma

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Grafici e insiemi di livello. Limiti e continuità. Elementi di topologia in R^n e proprietà delle funzioni continue. Derivate parziali. Piano tangente. Differenziabilità e approssimazione lineare. Condizione sufficiente di differenziabilità: il teorema del differenziale totale. Formula del gradiente. Derivate direzionali. Calcolo delle derivate. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Differenziale secondo, matrice hessiana, formula di Taylor al secondo ordine. Estremi liberi. Condizione necessaria del primo ordine. Forme quadratiche: classificazione e test degli autovalori. Studio della natura dei punti critici. Funzioni a valori vettoriali: limiti, continuità, derivata e integrale. Arco di curva continua: sostegno, curve chiuse, curve semplici, parametrizzazioni. Arco di curva regolare. Estremi vincolati. Vincoli di uguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

 

Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili

Integrale doppio di una funzione limitata su un rettangolo. Integrale doppio di una funzione limitata su domini non rettangolari: insiemi semplici e insiemi regolari. Proprietà elementari dell’integrale doppio. Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione. Cambiamento di variabili. Integrali doppi generalizzati. Integrali tripli. Lunghezza di un arco di curva. Integrali di linea di prima specie. Elementi di geometria differenziale delle curve. Curve rettificabili e lunghezza di un arco di curva. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti e cambi di orientazione. Integrali di linea.

 

Forme differenziali lineari e campi vettoriali.

Forme differenziali lineari. Integrazione di forme differenziali su cammini. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali e campi vettoriali. Lavoro e circuitazione. Campi conservativi e potenziali. Lavoro di un campo conservativo e caratterizzazione dei campi conservativi. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Formula di Gauss-Green. Applicazioni al calcolo di aree.

 

Superfici e integrali di superficie

Superfici in forma parametrica. Superfici regolari. Versore normale e piano tangente. Superfici orientate. Bordo di una superficie. Superfici regolari a pezzi. Area di una superficie. Integrale di superficie di una funzione continua. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della divergenza. Teorema del rotore.

 

Equazioni differenziali

Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Esistenza e unicità globale. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari: la struttura dell’integrale generale. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Metodo di variazione delle costanti. Cenni sui problemi ai limiti. Equazioni lineari di Eulero. Equazioni di Bernoulli.

Stima dell’impegno orario richiesto per lo studio individuale del programma

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali (25 ore studente)

Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili (25 ore studente)

Forme differenziali lineari e campi vettoriali (26 ore studente)

Superfici e integrali di superficie (26 ore studente)

Equazioni differenziali (26 ore studente)

Risorse per l'apprendimento

Libri di testo

Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli Editore;

Fusco, Marcellini, Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore;

Ulteriori letture consigliate per approfondimento

Giusti, Analisi Matematica 2 (terza edizione), Bollati Boringhieri Editore;

Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana;

Altro materiale didattico

Dispense fornite tramite piattaforma di elearning

Attività di supporto

Incontri con tutor

Modalità di frequenza

facoltativa

Modalità di accertamento

Le modalità generali sono indicate nel regolamento didattico di Ateneo all’art.22 consultabile al link http://www.unicz.it/pdf/regolamento_didattico_ateneo_dr681.pdf

 

L’esame consta di una prima prova scritta, seguita da una eventuale prova orale.

Gli esercizi della prova scritta sono progettati in modo da poter valutare che lo studente sia in grado di utilizzare i principi di base dell’Analisi Matematica studiati per la risoluzione di problemi sia di Analisi Matematica che applicativi di natura fisica o geometrica. Le domande della prova orale permettono di complementare la verifica della comprensione degli argomenti trattati.

 

La prova scritta

 

	Conoscenza e comprensione argomento	Capacità di analisi e sintesi	Utilizzo di referenze
Non idoneo	Importanti carenze. Significative inaccuratezze	Irrilevanti. Frequenti generalizzazioni. Incapacità di sintesi	Completamente inappropriato
18-20	A livello soglia. Imperfezioni evidenti	Capacità appena sufficienti	Appena appropriato
21-23	Conoscenza routinaria	E’ in grado di analisi e sintesi corrette. Argomenta in modo logico e coerente	Utilizza le referenze standard
24-26	Conoscenza buona	Ha capacità di a. e s. buone gli argomenti sono espressi coerentemente	Utilizza le referenze standard
27-29	Conoscenza più che buona	Ha notevoli capacità di a. e s.	Ha approfondito gli argomenti
30-30L	Conoscenza ottima	Ha notevoli capacità di a. e s.	Importanti approfondimenti