Scuola di Medicina e Chirurgia - Università Magna Graecia di Catanzaro

Analisi Matematica I e Geometria

Ingegneria Informatica e Biomedica

Il corso si compone di due moduli di Analisi Matematica I e Geometria.

Il modulo di Analisi Matematica I, tratta i temi fondamentali dell'analisi matematica: conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale, i principi del calcolo con variabili complesse e della teoria delle serie numeriche.

Il modulo di Geometria, tratta gli argomenti di base dell'algebra lineare e geometria analitica: elementi della teoria dei numeri classica, spazi vettoriali, calcolo matriciale, sistemi lineari e geometria analitica lineare nello spazio.

Modulo	Docente	CFU
Analisi Matematica I	Annabella Astorino	6
Geometria	Dmitri Kvasov	6

Collegamenti Veloci:

Obiettivi del Corso
Programma
Stima dell’impegno orario
Risorse per l'apprendimento
Attività di supporto
Modalità di frequenza
Modalità di accertamento

Docente:
Kvasov Kvasov

Insegnamento SSD:
MAT/05 - MAT/03

CFU:
12

Obiettivi del Corso e Risultati di apprendimento attesi

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding)

Il corso intende fornire una buona conoscenza dei metodi di base dell’algebra lineare e della geometria analitica lineare nello spazio. Inoltre ha tra i suoi obiettivi lo sviluppo del linguaggio matematico astratto, lo sviluppo delle capacità logiche-deduttive e l’apprendimento di tecniche dimostrative e di calcolo.

Capacità di applicare conoscenza a comprensione (applying knowledge and understanding)

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali dell’algebra lineare e della geometria analitica lineare nello spazio; dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso i contenuti dell’insegnamento; dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi base di algebra lineare e geometria analitica; sarà in grado di applicare le conoscenze apprese alla risoluzione di esercizi o problemi che richiedono una piccola rielaborazione delle tecniche dimostrative e di calcolo già acquisite.

Autonomia di giudizio (making judgement)

Al superamento della prova finale lo studente avrà migliorato la propria capacità di giudicare

autonomamente il risultato di una procedura di calcolo.

Capacità di apprendimento (learning skills)

Il lavoro richiesto per questo corso è un primo passo utile per lo sviluppo di un pensiero critico in matematica e di una mentalità flessibile e utile per studi di primo livello.

Programma

Contenuti del corso: Modulo di Analisi Matematica I • Numeri e insiemi numerici Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri reali. Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton. Proprietà algebriche e rappresentazione geometrica dei numeri razionali. Dai numeri razionali ai numeri reali. Estremo superiore e assioma di continuità. Valore assoluto e distanza sulla retta. Intervalli. Il principio di induzione e applicazioni. • Funzioni di una variabile Il concetto di funzione. Funzioni reali di una variabile reale: generalità, funzioni limitate, funzioni simmetriche, funzioni monotone, funzioni periodiche. Funzioni elementari. Operazioni sui grafici. Funzioni definite a tratti. Funzioni composte. Funzioni inverse. Le funzioni trigonometriche inverse. • Limiti di funzioni Limiti finiti al finito. Teorema di unicità del limite. Limiti finiti all’infinito. Asintoti orizzontali. Limiti infinito all’infinito. Asintoti obliqui. Limiti infiniti al finito. Limite destro e sinistro. Asintoti verticali. Non esistenza del limite. Teorema del confronto. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Teorema di cambio di variabile nel limite. Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Successioni monotone. • Funzioni continue Algebra delle funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione composta. Limiti di polinomi. Limiti di funzioni razionali. Limiti notevoli. Punti di discontinuità. Confronti asintotici. Gerarchia degli infiniti. Funzioni continue su un intervallo: Teorema degli zeri e Teorema dei valori intermedi. • Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Derivata di una funzione. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Derivate destra e sinistra e punti di non derivabilità. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Punti stazionari, massimi e minimi locali e globali. Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e applicazioni: test di monotonia e caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla su un intervallo. Ricerca di massimi e minimi. Teorema di de L’Hospital. Derivata seconda, concavità e convessità. Studio di funzione. • Serie numeriche Definizione e primi esempi: serie geometrica, serie armonica, serie armonica generalizzata. Condizione necessaria alla convergenza. Resto di una serie convergente. Serie a termini positivi: criteri del confronto e del confronto asintotico, criteri della radice e del rapporto. Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta. Serie a segni alterni, Criterio di Leibnitz e stime del resto. Serie numeriche dipendenti da un parametro. • Calcolo integrale per funzioni di una variabile Primitive e integrale indefinito di una funzione. Primitive di funzioni elementari. Area di una regione piana. Definizione di integrale definito e interpretazione geometrica. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale definito. Il Teorema della media. Il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Primi metodi di integrazione: scomposizione e sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni trigonometriche. Integrazione di funzioni irrazionali. Integrazione di funzioni non limitate e integrazione su intervalli illimitati. Criteri di integrabilità: confronto e confronto asintotico. Applicazioni: funzioni integrali, aree di superfici e volume dei solidi di rotazione.
Contenuti del corso: Modulo di Geometria • Numeri complessi Elementi di teoria degli insiemi. Definizione dei numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Piano complesso. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica. Esponenziale complesso. Formule di De Moivre. Formule di Eulero. Radici dei numeri complessi. • Spazi vettoriali Spazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi vettoriali. Basi e dimensione. Coordinate. • Matrici Definizione di matrici. Matrici quadrate, triangolari e diagonali. Operazioni tra matrici. Determinante. Proprietà del determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Matrici equivalenti per righe e matrici a scale. Eliminazione di Gauss. Autovalori e autovettori. • Sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Matrice completa. Sistema omogeneo. Teorema di Rouché-Capelli. Il teorema di Cramer. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare. • Geometria analitica lineare nello spazio Vettori nello spazio: prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto e loro signficato geometrico. Basi ortonormali. Rappresentazione parametrica di una retta. Piani nello spazio. Rappresentazione cartesiana di una retta. Relazioni di parallelismo e di ortogonalità.

Stima dell’impegno orario richiesto per lo studio individuale del programma

Numero ore di didattica assistita (didattica frontale) per il modulo di Analisi Matematica I	ore 48
Numero ore di didattica assistita (didattica frontale) per il modulo di Geometria	ore 48
Impegno orario richiesto allo studente per lo studio individuale del modulo di Analisi Matematica I	ore 102
Impegno orario richiesto allo studente per lo studio individuale del modulo di Geometria	ore 102

Risorse per l'apprendimento

Attività di supporto

Modalità di frequenza

Facoltativa

Modalità di accertamento

Per quanto riguarda il modulo di Analisi Matematica I, l’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta, della durata di 2 ore, è costituita da sei esercizi riguardanti il programma del corso. Agli esercizi sono assegnati dei pesi la cui somma è uguale a 33. La prova scritta si considera superata con un punteggio maggiore o uguale a 15 (con riserva se il punteggio è inferiore a 18). Gli studenti che superano la prova scritta accedono alla prova orale che ha una durata di circa 30 minuti e si articola nell’esposizione (orale e con l’ausilio anche della forma scritta) di argomenti del programma, proposti dal docente. L’esame si considera superato se lo studente riporta una votazione di almeno 18/30. Tale voto tiene anche conto del risultato della prova scritta.

Per quanto riguarda il modulo di Geometria, l’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta, della durata di 1 ora e 30 minuti, è costituita da quattro esercizi riguardanti il programma del corso. Agli esercizi sono assegnati dei pesi la cui somma è uguale a 33. La prova scritta si considera superata con un punteggio maggiore o uguale a 15 (con riserva se il punteggio è inferiore a 18). Gli studenti che superano la prova scritta accedono alla prova orale che ha una durata di circa 30 minuti e si articola nell’esposizione (orale e con l’ausilio anche della forma scritta) di argomenti del programma, proposti dal docente. L’esame si considera superato se lo studente riporta una votazione di almeno 18/30. Tale voto tiene anche conto del risultato della prova scritta.

Il voto finale del corso integrato è calcolato come media dei voti dei moduli Analisi Matematica 1 e Geometria.

	Conoscenza e comprensione argomento	Capacità di analisi e sintesi	Utilizzo di referenze
Non idoneo	Importanti carenze. Significative inaccuratezze.	Irrilevanti. Frequenti generalizzazioni. Incapacità di sintesi.	Completamente inappropriato.
18-20	A livello soglia. Imperfezioni evidenti.	Capacità appena sufficienti.	Appena appropriato.
21-23	Conoscenza routinaria.	E’ in grado di analisi e sintesi corrette. Argomenta in modo logico e coerente	Utilizza le referenze standard.
24-26	Conoscenza buona.	Ha buone capacità di analisi e sintesi. Argomenti espressi coerentemente.	Utilizza le referenze standard.
27-29	Conoscenza più che buona.	Ha notevoli capacità di analisi e sintesi.	Ha approfondito gli argomenti.
30-30L	Conoscenza ottima.	Ha notevoli capacità di analisi e sintesi.	Importanti approfondimenti.