Scuola di Medicina e Chirurgia

Università Magna Graecia di Catanzaro

Analisi Matematica II

Ingegneria Informatica e Biomedica

Il corso intende fornire agli studenti le conoscenze di Analisi Matematica necessarie per gli studi in Ingegneria.

Collegamenti Veloci:
Docente:
Vittorio Colao

SSD:
MAT/05 - Analisi matematica

CFU:
9
Obiettivi del Corso e Risultati di apprendimento attesi

ATTIVITA

ORE LEZIONE

ORE STUD INDIV.

A1) Acquisizione delle conoscenze dei principali strumenti dell’analisi matematica per funzioni in più variabili.

10

20

A2) Capacità di comprendere problemi e dimostrazioni inerenti i principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabile reali e dei principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni vettoriali di una o più variabile reali

10

20

A3) Acquisizione dei principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabile reali e dei principi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni vettoriali di una o più variabile reali

10

20

A4) Acquisizione delle conoscenze su alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non lineari

9

19

A5) Abilità di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie lineari e non lineari

8

18

B1) Capacità di apprendimento necessarie per intraprendere gli studi successivi con un buon grado di autonomia.

8

18

D1) Capacità di descrivere e commentare le conoscenze acquisite, adeguando le forme comunicative agli interlocutori.

8

18

E1) Capacità di applicazione delle conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi sia tipici dell’Analisi Matematica che derivanti da applicazioni alla fisica

9

20

TOTALE

72

153

Programma

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali

Grafici e insiemi di livello. Limiti e continuità. Elementi di topologia in R^n e proprietà delle funzioni continue. Derivate parziali. Piano tangente. Differenziabilità e approssimazione lineare. Condizione sufficiente di differenziabilità: il teorema del differenziale totale. Formula del gradiente. Derivate direzionali. Calcolo delle derivate. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Differenziale secondo, matrice hessiana, formula di Taylor al secondo ordine. Estremi liberi. Condizione necessaria del primo ordine. Forme quadratiche: classificazione e test degli autovalori. Studio della natura dei punti critici. Funzioni a valori vettoriali: limiti, continuità, derivata e integrale. Arco di curva continua: sostegno, curve chiuse, curve semplici, parametrizzazioni. Arco di curva regolare. Estremi vincolati. Vincoli di uguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

 

Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili

Integrale doppio di una funzione limitata su un rettangolo. Integrale doppio di una funzione limitata su domini non rettangolari: insiemi semplici e insiemi regolari. Proprietà elementari dell’integrale doppio. Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione. Cambiamento di variabili. Integrali doppi generalizzati. Integrali tripli. Lunghezza di un arco di curva. Integrali di linea di prima specie. Elementi di geometria differenziale delle curve. Curve rettificabili e lunghezza di un arco di curva. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti e cambi di orientazione. Integrali di linea.

 

Forme differenziali lineari e campi vettoriali.

Forme differenziali lineari. Integrazione di forme differenziali su cammini. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali e campi vettoriali. Lavoro e circuitazione. Campi conservativi e potenziali. Lavoro di un campo conservativo e caratterizzazione dei campi conservativi. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Formula di Gauss-Green. Applicazioni al calcolo di aree.

 

Superfici e integrali di superficie

Superfici in forma parametrica. Superfici regolari. Versore normale e piano tangente. Superfici orientate. Bordo di una superficie. Superfici regolari a pezzi. Area di una superficie. Integrale di superficie di una funzione continua. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della divergenza. Teorema del rotore.

 

Equazioni differenziali

Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Esistenza e unicità globale. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari: la struttura dell’integrale generale. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. Metodo di variazione delle costanti. Cenni sui problemi ai limiti. Equazioni lineari di Eulero. Equazioni di Bernoulli.

Stima dell’impegno orario richiesto per lo studio individuale del programma

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali (25 ore studente)

Calcolo integrale per funzioni reali di più variabili (25 ore studente)

Forme differenziali lineari e campi vettoriali (26 ore studente)

Superfici e integrali di superficie (26 ore studente)

Equazioni differenziali (26 ore studente)

Risorse per l'apprendimento

Libri di testo

Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli Editore;

Fusco, Marcellini, Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore;

Ulteriori letture consigliate per approfondimento

Giusti, Analisi Matematica 2 (terza edizione), Bollati Boringhieri Editore;

Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana;

Altro materiale didattico

Dispense fornite tramite piattaforma di elearning

Attività di supporto

Incontri con tutor

Modalità di frequenza

facoltativa

Modalità di accertamento

Le modalità generali sono indicate nel regolamento didattico di Ateneo all’art.22 consultabile al link http://www.unicz.it/pdf/regolamento_didattico_ateneo_dr681.pdf

 

L’esame consta di una prima prova scritta, seguita da una eventuale prova orale.

Gli esercizi della prova scritta sono progettati in modo da poter valutare che lo studente sia in grado di utilizzare i principi di base dell’Analisi Matematica studiati per la risoluzione di problemi sia di Analisi Matematica che applicativi di natura fisica o geometrica. Le domande della prova orale permettono di complementare la verifica della comprensione degli argomenti trattati.

 

La prova scritta

 

 

Conoscenza e comprensione argomento

Capacità di analisi e sintesi

Utilizzo di referenze

Non idoneo

Importanti carenze.

Significative inaccuratezze

Irrilevanti. Frequenti generalizzazioni. Incapacità di sintesi

Completamente inappropriato

18-20

A livello soglia. Imperfezioni evidenti

Capacità appena sufficienti

Appena appropriato

21-23

Conoscenza routinaria

E’ in grado di analisi e sintesi corrette. Argomenta in modo logico e coerente

Utilizza le referenze standard

24-26

Conoscenza buona

Ha capacità di a. e s. buone gli argomenti sono espressi coerentemente

Utilizza le referenze standard

27-29

Conoscenza più che buona

Ha notevoli capacità di a. e s.

Ha approfondito gli argomenti

30-30L

Conoscenza ottima

Ha notevoli capacità di a. e s.

Importanti approfondimenti